1. 基本原则
2. 超球面
3. 罗伯逊-沃克度规
4. 宇宙的有限与无限
5. 宇宙学红移
6. 简单说明
7. 弗里德曼宇宙
8. 简单说明
9. 附录

基本原则

宇宙学原理:在宇观尺度上，宇宙中的物质始终均匀各向同性的分布着^[1]。

• 现代观测表明在宇观尺度上，星系和星系团的分布是均匀各向同性的。
• 宇宙无中心论的推广说明宇宙各处呈现的图像是相同的。 有限无边的宇宙模型：类比三维中的二维球面，指的是四维时空中的一个三维超球面，在这个有限无边的三维宇宙中，时间是无止境的，而空间是有限的但是无边的，这显然不同于哲学家所争论的宇宙。

超球面

可以将三维中的二维球面推广,可知三维中的线元和球面表示为：

其中为球面的曲率,而为球面的半径,当时为常球面,而当时退化到普通平面,当时为伪球面^[2],现在推广到四维平直的欧氏空间：

这样的超球面对应一个三维的常曲率空间，对球面方程进行微分，可以得到：

将上式代入到线元中：

做球坐标变换：

将变换代入线元：

实际上就是通过一个限制方程将线元限制到三维超球面，所以上面的线元就是三维球面上的线元，当时为常超球面，而当时退化到超平面，而当就是一个伪超球面。

罗伯逊-沃克度规

将四维时空的时间和空间部分分开，得到一个度规的普遍形式：

将宇宙学原理运用到度规中，由于宇宙的均匀性，实际上就是说宇宙各处的演化过程时相同的，因此存在一个统一的宇宙时间，可以使用随动坐标系，此时可以直接用固有时表示,即：

同时宇宙学原理中的均匀性也说明在大尺度上曲率应该处处相等，即可以考虑曲率只随时间变化而与位置无关，将上面所得的超球面的线元表达式代入到度规，得到四维时空中的度规普遍形式为：

上式就是罗伯逊-沃克度规，值得注意的是，由于使用随动坐标系，简单一点讲就是我们的坐标原点选取在空间中任何一点的质元，所以空间坐标是不变的，其中空间中任意两点的距离与成正比，所以这个参数称为宇宙尺度因子，当其为时间的增函数时，宇宙是膨胀的，而当其为时间的减函数时，宇宙是收缩的。

宇宙的有限与无限

罗伯逊-沃克时空中的径向坐标距离为：

对应的固有距离为：

当时，有

根据积分结果，可以知道，,否则积分结果没有意义，由此可以看见有最大度规径向长度，此时可以计算得到此宇宙的空间体积：

其中为空间度规行列式，可以看到我们空间时有限的。下面我们直接给出另外两种情况:

后面两种情况径向固有距离都是没有上限的，所以是无限无边的宇宙，而前面的到的是有限无边的宇宙。

宇宙学红移

假设星系在时刻发射的光信号在时刻被我们接收，而在时刻发射的光信号在被接收，实际上我们感兴趣的是时间间隔，为了简单起见，假设光线沿着径向运动，根据上面所得到的度规，可以得到：

对于第一个光信号有：

第二个光信号：

可以看到后面的是相同的，这也就说明了实际上传播的路径实际上并不是很重要，或着说选择径向传播的光信号是合理的，由此可以得到：

进一步将左侧的积分拆开得到：

考虑到时间间隔极短，可以直接利用中值定理：

可以很简单的通过频率与周期的公式得到频移量：

可以通过频移来确定参数的变化情况，或着这样讲时无频移为静态宇宙，而当,有红移，参数随时间增大，为膨胀宇宙, 反之，有蓝移，参数随时间减少，为收缩宇宙。实际上我们发现来自远方星系的光波有红移，即我们的宇宙正在膨胀。需要注意的是，坐标系为随动坐标系，所以选取的两个坐标都是固定的，或着红移不是来自于两者的相对运动，而是来自于坐标中空间坐标本身的膨胀效应，所以从这个角度上来讲这里面红移本质上来讲不是多普勒红移。

简单说明

1. 罗伯特-沃克度规是基于一般的宇宙学原理，而与引力理论无关，这个度规完全是运动学的结论。
2. 宇宙学原理不能确定尺度因子和空间曲率（不是时空曲率且是一个大尺度上的量），这两个量只取决于我们的观测和时间动力学性质。
3. 罗伯特-沃克度规是在随动坐标系中建立的，其中的时间就是质点所经历的固有时间。

弗里德曼宇宙

在前面的基础上，进一步加入爱因斯坦的场方程，可以建立弗里德曼宇宙，首先我们需要得到场方程中的能量张量，宇宙原理告诉我们物质的分布一定是均匀各向同性的，这样我们知道此时的能量动量张量是完全流体的能量动量张量：

其中我们选择的单位制中，选择表示质元只随宇宙膨胀而变化，和分别指密度和压强，也是均匀的只随时间变化，其中爱因斯坦场方程：

将前面所得到的度规代入到场方程，实际上我们要做的是得到相应的方程以求出度规中的参数，本质上还是在求解度规。这样我们可以得到两个方程，即纯时间和纯空间方程：

这里存在三个未知函数，所以是不能够通过两个独立的方程解出,所以我们需要引入第三个方程，有关于物态性质的方程，当然在这个方程里面并没有温度：

这样便可以通过这三个方程得到我们需要的解。另外还可以加入一个条件就是总熵不变的准静态可逆过程得到方程（这个方程可以简化计算,其中s为熵密度）：

以上的方程描述了宇宙演化的过程,通过合理的初始条件以及边界条件便能够研究宇宙的现在，过去和未来，这里不再做展开说明。

简单说明

按照弗里德曼的模型，宇宙膨胀起源于一个过去类空的奇点，然而宇宙这会是的宇宙早期的时空曲率无穷大，使得量子效应十分显著，这就是问题所在，因为引力场的量子化十分困难，所以我们很难对极早期的宇宙作更为清晰的解释，做一些简要说明^[1]。

1. 引力场量子化困难（a.引力场量子化后不能重整化; b.度规算符的逻辑循环问题）目前可以使用的是弯曲时空量子场论，与场方程的主要区别是量子化的物质场。

2. 普朗克尺度，物质场的量子化带来的就是量子涨落，会引起度规场的涨落，在这个涨落不可忽略的范围内就是普朗克尺度（在这个范围内时间和空间失去了原有的概念，因果律失效）下面是在自然单位制下的普朗克尺度：
   

附录

1. 罗伯逊-沃克度规非零量
   

2. 罗伯逊-沃克度规中不为零的克氏符（无饶联络）：
   

3. 场方程的纯时间分量的求解：
   

根据前面的克氏符可知：

计算场方程右半部分：

将计算结果代入到场方程中便可以得到前面所得出的纯时间分量的场方程。同理可以计算出纯空间分量的方程。

4. 联立纯空间与纯时间分量的两个方程，消去得到一个关于的一个一阶方程：
   

事实上我们可以直接通过经典的引力理论直接得到上面的方程^[1]，首先将宇宙看成是各向均匀同性的巨大球体，这可能与宇宙无中心论相驳，在距离球心处的一个质点受到的引力为半径球内的物质所带来的引力，此时利用牛顿第二定律：

与前面一样，同样采用随动坐标系有，与时间无关，所以上式可以写为：

实际上这个方程和上面得到的形式是相同的，做一点变换：

考虑到膨胀球体内质量是一个不变量，得到限制条件：

将变换关系和限制条件代入方程，两边分别对和积分得到

可以看到通过牛顿引力理论与场方程得到的方程形式是一样的。