1. 概要
2. 库伦定律
3. 法拉第电磁感应定律
4. 毕奥-萨伐尔定律
5. 四维协变形式电磁场理论

概要

麦克斯韦方程组作为史上最为优美，伟大的公式之一，成功的统一了电场和磁场，更为重要的其简洁对称的形式对物理本质的反映,使得我们看到了自然界之美。下面便是真空中的麦克斯韦方程组的微分形式^[1]：

从公式中我们可以看到电场的有源场，磁场为无源场,磁场无源便可以解释自然界中不存在磁单极子，尽管人们并没有放弃对它的寻找，同时电场的旋度由变化的磁场确定，也就是变化的磁场会产生电场，磁场的旋度自由电流以及位移电流所决定，也就是所变化的电场也可以产生磁场，这是对方程组最为直接的理解，同时我们也直观的可以看方程组的对称性和简洁性。接下来我们通过物理实在^[2]得到麦克斯韦方程组。

库伦定律

这是关于真空中电荷的相互作用,真空的两个点电荷的受力与电荷成正比与距离的平方成反比，可以写为：

对于空间中的任意电荷分布在空间中产生的电场可以由叠加原理得到：

利用上式可以得到电场的散度和旋度：

从以上两个式子可以看到静电场为有源场，源点为电荷，且静电场为无旋场，这使得静电场可以通过引入一个标势场来描述:

代入电场散度的表达式可以得到泊松方程:

一旦给定空间电荷分布和对应的边界条件,就能完全确定静电场的分布。当空间电荷密度,即得到拉普拉斯方程。

法拉第电磁感应定律

前面我们考虑了静电场的情形，而一旦空间中存在变化的磁场，此时变化的磁场便会产生感应电场，其中法拉第电磁感应定律可以描述为：

考虑感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁感应定律可以写为：

根据上面的积分形式，我们可以得到微分形式的电磁的旋度：

这样我们就得到了一般形式下电场的散度和旋度公式，也就是麦克斯韦方程组中关于场的两个公式。

毕奥-萨伐尔定律

通过奥斯特电流实验我们便知道，电可以生磁，而磁和磁之间可以产生相互作用，简单的来说电流和磁场会发生相互作用，而这个相互作用由下面的公式给出：

上面的公式描述的是电流元在磁场中的受力，对于一般的情况需要进行积分，前面我们提到了电流可以生磁，而电流产生的磁场由毕奥-萨伐尔定律给出：

同样我们给出磁场表达式后求磁场的旋度与散度，在这里我们不进行直接求解，而是将磁场的形式改变：

引入一个矢势来描述磁场,其中矢势由下式给出：

此时我们可以很容易的得到磁场的散度：

而磁场旋度：

现在我们可以具体的计算每一项的结果，其中：

而第一项：

其中第一项由变换公式可以化成面积分，若取面为无穷大，使得面上无电流，此时积分为零，而第二项便需要具体得考虑，如果我们假定电流恒定，根据电荷守恒定律何以知道每一处得电流密度不发生变换，此时电流得散度满足恒定电流条件的，得到此时有:

这样综合上面可以得到：

当然若我们考虑一个非恒定的情况也就是考虑在变化的情况下，此时有:

这样便存在:

实际上这一项便是麦克斯韦的位移电流，表示变化的电场可以产生磁场，此时得到磁场的旋度为；

以上就是关于磁场的旋度与散度，这样我们就通过物理实在得到了麦克斯韦方程组得完整形式。

四维协变形式电磁场理论

在四维情况下，需要满足相对性原理，也就协变性，所以需要引入一个电磁场张量以满足坐标面换下物理顶定律的不变性^[1]：

在四维情况下麦克斯韦方程可以写为以下两个协变方程:

其中,在不同坐标系下,电磁场张量满足张量的变换规则。四维形式下麦克斯韦方程组的形式更为简洁对称。