1. 经典描述
2. 量子力学描述
3. 量子化解和朗道能级
4. 算符方法求解

经典描述

考虑一个带电粒子在电磁场中运动,粒子会受到电场力和洛伦茨力的作用,其经典运动方程为:

其中电场和磁场可以用失势和标量势表示:

经典的拉格朗日量可以写为:

利用欧拉-拉格朗日方程即可以得到运动方程.通过拉格朗日量可以得到正则动量:

以及经典的哈密顿量:

当然通过正则方程同样能得到上面的运动方程.

量子力学描述

现在的问题是如何量子化在磁场中运动的粒子,任遵循基本方法,即通过求解定态方程得到量子化的解.首先将经典力学中的正则量替换为算符即,得到质量为带电量为的粒子在磁场中运动的哈密顿算符 ^[1] :

考虑沿轴的恒定磁场,在对称规范下,磁场可以表示为:

代入到哈密顿量中可以得到:

其中,即和的共同本征态可以写为形式,其中可以记为:

其中为Larmor频率,即表示轨道磁矩与外磁场的相互作用.同时可以发现与二维谐振子的哈密顿量相同.考虑极坐标系,可以将哈密顿量写为:

极坐标下的定态波函数的形式为,代入定态方程,得到展开式:

薛定谔方程决定了带电粒子在磁场中的运动方式,接下来的问题是求解微分方程.

量子化解和朗道能级

可知,因此可以取的共同本征态作为方程的解,即,有,将方程的形式代入薛定谔方程得到:

方程可以简化为^[2] :

考虑变量替换,得到方程:

在极限时,有,因此有:

即在的解为.在时方程可以写为:

即得到的渐进解为.结合渐进形式,方程解的形式可以记为:

代入前面的方程即得到:

满足合流超几何方程的形式,考虑级数解,代入方程得到系数满足下列关系:

考虑到波函数是一个有限值,因此此级数不能无限级数,取此级数的截断:

此时,可以写为多项式的形式:

当然,解就是广义 LaguerreL ^[3] 函数.综上所述可以得到:

进一步可以得到归一化的波函数为:

根据截断条件得到能量为:

其中.以上便得到了带电粒子在磁场运动的量子化解,能级是量子化的,且无穷简并,下面给出一些能级的例子：

通过波函数可以得到粒子概率密度分布,下图给出了不同能级的概率密度分布.

朗道能级对应的概率密度分布

算符方法求解

前面通过微分方程求解得到了朗道能级,实际上通过算符的方法也能得到类似的结果,首先定义以下算符:

且满足对易关系:

将算符代入到哈密顿量中得到:

类似于谐振子哈密顿量,可以引入产生湮灭算符:

满足玻色对易关系:

利用产生湮灭算符,哈密顿量可记为:

其中为粒子数算符,满足,即得到朗道能级:

可以看到得到的结果与前面一样.