1. 介绍
2. 测地线方程
3. 短程线方程

介绍

测地线又称为大地线或短程线，数学上可视为直线在弯曲空间中的推广；在有度规定义之时，测地线可以视为空间中两点的局域最短路径^[1]。实际上两者有所区别。

测地线方程

平直时空中的直线，可以定义为两点之间的测地线，也可以定义为线上任意相邻两点间的切矢量都相互平行的线(自平行线)。我们利用自平行的性质将短程线的概念推广到仿射空间，称为测地线。同样我们将三维的曲线方程推广到仿射空间，曲线的参数方程以及曲线上任意一点的切矢量可以写成：

其中为仿射参量，接下来选取曲线上的两个相近的点和点，他们的坐标分别为和。由于是在仿射坐标下的曲线，不能直接比较两点的切矢量，所以需要将一个点上的切矢量平移到另一点处，我们可以将P处的切矢量平移到处为,再由自平行条件，可以得到：

其中是关于仿射参量的函数，后面一个式子是的展开，由于当时,点的切矢量不发生变化，所以很显然有，令,所以得到下面的关系:

当满足上式时我们知道两点的切矢量是相互平行的，对测地线来讲任意临近两点满足上面的式子，接下来我们要具体的写出平移后的切矢量,下面是平移后切矢量的具体形式：

将得到的这些结果代入到前面的等式中，展开后忽略二阶及以上小量，可以得到下面的一些结果：

上面就是仿射空间中测地线的微分方程。实际上通过选取不同的仿射参量，还能够进一步简化方程，引入一个新的仿射参量满足以下微分关系：

同样将上面的微分关系式代入到前面的测地线方程中，得到：

考虑新的仿射参量满足下面的等式：

此时我们的测地线方程可以得到简化，即可以得在仿射参量下的测地线方程：

短程线方程

短程线是黎曼空间中两点之间最短的曲线，所以可以用变分法来求解，考虑到黎曼空间中任意两点和之间可以有无穷多条曲线，对于度规正定的空间，取极值的一定是最短的曲线，当然对于四维时空，由于度规不是正定的，所以取极值得到的线不是最短的，而是最长的，可以通过取负号解决这个问题。下面我们就用变分原理来求短程线，首先定义泛函：

其中上面的可以借助度规来表示,(其中为参量)：

上面的为拉格朗日量，代入欧拉-拉格朗日方程求解：

当我们将参数选为曲线的长度时，即,可以得到：

考虑到度规张量为对称张量，即有,由此可以进一步的得到：

由对称性，可以将方程写成下面的形式：

根据上面公式我们可以利用联络与度规的关系式进一步简化公式：

最后一个方程就是黎曼空间中的短程线方程，可以看到与前面所推导的测地线方程具有相同的形式，不过后面方程中的联络为无饶情形下的联络，也被称为克氏符，而前一个方程中的联络在有绕率的空间也成立。