1. 格林函数
   1. 定义
   2. 格林函数的结构
   3. 格林函数的对称性
   4. 格林函数的本征表示
2. 常用格林函数
   1. 一维格林函数
   2. 二维格林函数
   3. 三维格林函数
   4. 格林函数表

格林函数

定义

定义微分方程:

其中为线性微分算子，格林函数 定义为:

则微分方程的解为:

其中满足.证明如下:

格林函数的结构

线性微分算子定义为:

格林函数满足微分方程:

将格林函数定义为分段函数:

当,分段函数满足边界条件,在处连续:

其中.分段函数的一阶导数不连续，需要满足：

以下为证明：

格林函数的对称性

考虑满足微分方程,以及在处的边界条件,此时可将格林函数记为:

格林函数在处连续,一阶导不连续满足:

这是关于的线性方程组,方程有解的条件为系数矩阵行列式不为零:

容易求解上述线性方程组,得到:

其中,即得到格林函数为:

可以发现交换格林函数不变即内在对称：

格林函数的本征表示

若微分算子满足下面的本征方程:

其中为本征函数,满足正交归一性条件,为本征值,为权重函数.将方程的解写为本征函数的线性叠加:代入微分方程得到:

得到系数即:

代入解即得到:

其中格林函数:

可以验证上式为格林函数,如下:

若考虑更一般的方程即

且仍满足前面所述的本征方程,其中可用本征函数展开:

设,代入微分方程得到:

得到系数:

以及方程的解:

格林函数定义为:

常用格林函数

一维格林函数

亥姆霍兹(Helmholtz)算符,格林函数满足下面的方程:

方程两边风别做傅里叶(Fourier)变换,,得到:

即:

做傅里叶逆变换即:

现在给出积分过程,令,其中,将积分域延拓到复数域，可知被积函数存在两个极点,当得到:

同理可以得到时,,即证明.

变形亥姆霍兹(Helmholtz)算符,格林函数满足微分方程:

与上面相同,先对方程两边做傅里叶变换得到:

做傅里叶逆变换得到:

积分过程与前面相同，此时被积函数的极点为,当时,可得:

同样当时可得到,即证明.

二维格林函数

二维拉普拉斯算子即,其极坐标下展开式为:

若,格林函数满足微分方程

当时,利用旋转对称性,可将方程写为

即有:

当时有积分方程:

可知

即得到格林函数,令,代入上式,即得到二维拉普拉斯算子的格林函数:

二维亥姆霍兹算子,其中格林函数满足微分方程

对上式做傅里叶变换即得到:

得到:

对上式做傅里叶逆变换得到:

积分过程如下:

二维变形亥姆霍兹算子,其中格林函数满足微分方程

对上式做傅里叶变换即得到:

得到:

对上式做傅里叶逆变换得到:

积分过程如下:

三维格林函数

三维拉普拉斯算子,格林函数满足微分方程：

考虑格林函数的傅里叶变换即:

分别对微分方程两边做傅里叶变化得到:

即得到:

对上式做傅里叶逆变换得到: