1. 波戈留波夫变换
2. 应用
   1. 反铁磁自旋波
   2. BCS超导理论

波戈留波夫变换

波戈留波夫(Bogoliubov)变换是对正则对易关系或正则反对易关系代数的同构,变换通常用于对角化哈密顿量.

考虑对玻色子算符的正则变换:

变换后的算符任需保持玻色子对易关系即:

即需要满足,当然可以参数化的将记为:

以上便是玻色子算符的波戈留波夫变换.

对于费米子体系,有类似的变换,变换后任满足费米子对易关系即:

即得到.非平凡解为,对应于可能包含相移的粒子-反粒子交换。对于单个粒子,波戈留波夫变换只能在狄拉克费米子中实现;对于多费米子体系,其中不只一种类型的费米子

波戈留波夫变换可以写为矩阵形式:

对费米子:

对玻色子:

以上可以统一为:

其中

分别对应玻色子和费米子.

应用

反铁磁自旋波

对反铁磁系统,近邻自旋趋于反平行,可以将晶格分为两个子格,同一子格自旋平行,不同子格自旋相反.海森堡哈密顿量可用双子格模型表示为:

用标记两个子格,每个子格自旋数为,总的磁子数为 . 在低温近似下,上述哈密顿量可由双子格自旋波算符表示 :

其中分别为两个子格的自旋波算符,满足玻色子对易关系:

可以利用波戈留波夫变换对上述哈密顿量进行对角化,令:

其中为实函数.要求变换后仍满足玻色对易关系,需要满足:

可知上述变换的逆变换为:

将逆变换代入到哈密顿量中得到:

为对角化哈密顿量,可使非对角项为零,即得到方程:

联立关于的两个方程即可解得 :

将结果代入以上的哈密顿量即得到对角化的哈密顿量:

其中表示反铁磁自旋波量子

哈密顿量的基态能量为

BCS超导理论

BCS 理论描述超导的哈密顿量为 :

其中相对费米面的能量.首先需要利用自洽场近似(SCFA)的方法将上述哈密顿量约化,考虑将对算符记为:

代入哈密顿量中相互作用项中,并取一阶近似:

定义:

为简化问题,令,可将约化后的哈密顿量写为:

接下来便可以通过波戈留波夫变换对角化上述哈密顿量,考虑正则变换:

变换后的算子仍然满足费米子对易关系即:

即得到

可以验证 .上述变换的逆变换为:

将逆变换代入哈密顿量得到:

令非对项的系数为零即得到:

联立关于的方程求解即得到 :

代入哈密顿量即求得对角化的哈密顿量:

基态能量

其中表示超导元激发的能量,其中为元激发算子,当时,元激发能量,即在费米面激发一个准粒子至少需要的能量,表示元激发的能隙.

其中基态能隙可通过元激发算子对基态求平均得到:

即得到能隙方程:

以上便是波戈留波夫变换在BCS超导理论中的应用.